Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, wir hatten letztes Mal den Begriff des allgemeinen Vektoraums, das heißt des Vektoraums über einen allgemeinen Körper,

im Gegensatz zu dem jetzt schon hoffentlich wohlbekannten reellen Vektoraum, den über den Zahlkörper R besprochen.

Und im Wesentlichen bleibt die Theorie so wie sie ist. In der konkreten Ausformung

muss man speziell bei endlichen Körpern ein kleines bisschen aufpassen.

Das spielt aber für uns hier keine zu große Rolle, hat aber durchaus gewisse

Anwendungen in der Kryptographie zum Beispiel. Und was aber wichtig für uns ist

im Folgenden, das habe ich jetzt schon mehrfach angekündigt, auch komplexe

Vektorräume anzuschauen und insbesondere einen reellen Vektorraum zu einem

komplexen Vektorraum zu machen. Das heißt also auch konkret dann eine reelle

Matrix auch als komplexe Matrix anzuschauen. Und was ja die reellen

Vektorräume besonders dann das Arbeiten darauf einfacher macht, ist wenn

zusätzlich ein Skalarprodukt vorliegt. Das ist eine Situation, die wir ab jetzt

euklidischer Vektorraum nennen und die Analogie dazu im komplexen ist der

unitäre Vektorraum. Es ist ein kleines bisschen ein Unterschied. Wir können nicht

mehr, wir haben ja die Situation, dass wir im

reellen Skalarprodukt definiert haben. Vielleicht erinnere ich noch mal dran.

Wir haben in R definiert oder im Rn definiert. Machen wir es mal konkret. Das

innere die Norm, die euklidische Norm eines Vektors eben als Summe der

Komponenten zum Quadrat und daraus die Wurzel. Und dann haben wir gesehen naja

das kommt doch einfach daher, dass ich ein Skalarprodukt habe, was eben definiert

ist als Summe der x i y i. Wenn wir jetzt auch in C hoch n oder allgemein dann

später in komplexen Vektorräumen eine Längenmessung, eine Norm haben wollen,

dann könnte man ja auch auf die Idee kommen, machen wir es doch genauso.

Wenn ich Ihnen das anbiete als Normdefinition, was würden Sie dann sagen?

Ja, also erstmal sehen wir, dass hier dieser Ausdruck nicht notwendigerweise

reell ist. Das heißt also wir haben dann weiterhin eine komplexe Zahl. Das heißt

wir hätten keine reelle Länge. Aber nehmen wir mal an, wir wollten, das ist der eine

Punkt, aber was ja ein wesentlicher Eigenschaft war, war die, das ist schon

der wesentliche Grund, den Sie genannt haben, aber um noch eins drauf zu setzen,

wir hatten ja insbesondere die Definitei für eine Norm gefordert, dass nur der

Null Vektor die Länge Null bekommt. Vielleicht könnte man ja mit negativen

oder komplexen Längen leben, was nicht der Fall ist, aber wie sieht es denn hier

aus? Gibt es hier Vektoren, die die Länge Null haben können

und nicht der Null Vektor sind?

Das könnten wir machen. Dann haben wir 1² ist 1 plus i² ist minus 1 ist 0.

Dann wäre Norm von x gleich 0 und deswegen verwerfen wir sozusagen diesen

Ansatz und machen stattdessen und das macht halt jetzt den Unterschied,

das machen wir stattdessen

Summe der x i-Betrag-Quadrat, was natürlich hier mit übereinstimmt im

Reellen, x i-Betrag ist aber x i mal x i quer, zum Quadrat ist x i mal x i quer,

das heißt also das Skalarprodukt und was wir jetzt inneres Produkt nennen und mit

einer eckigen Klammer schreiben, das wird in diesem konkreten Fall

sinnvollerweise definiert als x i mal y i quer.

Das ist jetzt der wesentliche Unterschied, dieses quer hier auf der zweiten

Komponente und das ist jetzt eine Reihe von Änderungen in Eigenschaften zur

Folge, wir haben keine Symmetrie mehr, nur noch

Hermit-Symmetrie, wir haben keine Linearität in beiden Komponenten, nur

Linearität in der x Komponente, da ändert sich nichts, aber der y Komponente

kommt im Skalar als Gequerter, als das komplex Konjugierte heraus, was man auch